Al een paar keer heb ik me afgevraagd welk verband (mathematisch) we kunnen vinden tussen "Vruchtbaarheid" en "Bevolkingsgroei". Het is een nogal gecijferde kwestie, dus waarschijnlijk te droog om er boeken over te publiceren. Maar als mensen die zich aan de (verkeerde) rand van de "ongecijferdheid" bevinden (ikzelf, dus) zich ermee bezig houden wordt het misschien toch wel eens fun. Laten we het proberen!
Om te beginnen is vruchtbaarheid het "aantal kinderen per vrouw" (van een populatie). Bevolkingsgroei is een "procentuele toename (van de populatie) per jaar". Dus moeten we al meteen een gemeenschappelijke noemer zoeken. Ik raak een eind vooruit door te bedenken dat vruchtbaarheid een aantal geboortes impliceert. Bevolkingsaangroei is immers de resultante van geboortes min sterftes plus migratie: zo krijgen we voor beide concepten een uitdrukking in termen van geboortes.
We gaan verder door dat aantal geboortes uit "vruchtbaarheid" te vermenigvuldigen met het aantal vrouwen: "aantal per vrouw" maal "aantal vrouwen" geeft "aantal" in absolute cijfers: dus krijgen we een hoeveelheid geboortes in een populatie. Alleen geeft dat het aantal kinderen dat geboren wordt doorheen de levensduur van die vrouwen. Maar bevolkingsaangroei geeft toename in één jaar. Ergo...
We komen op het punt waarop de analyse aaneen plakt met een touwtje en wat kauwgom. Op zoek naar de gemeenschappelijke noemer "per jaar" deel ik dat aantal kinderen van al die vrouwen door de gemiddelde levensverwachting. Een aantal kinderen doorheen een levensduur gedeeld door de gemiddelde levensduur in jaren lijkt me een aantal kinderen per jaar, niet?
De reden waarom ik een "touwtje en kauwgom" alert voel is dat me helemaal niet duidelijk is waarom de levensverwachting (zeg: tachtig jaar) het juiste cijfer om door te delen is, en niet, bijvoorbeeld, de vruchtbare leeftijd (zeg: tot veertig jaar; of ook "tussen 15 en 40", dus 25). Het heeft iets ongelofelijks, die "ongecijferdheid". Ik weet zeker dat dit voor veel mensen de grootste vanzelfsprekendheid is, maar ik gok maar dat ik het cijfer 80 moet gebruiken (1); de huidige levensverwachting.
En nu komt me iets te hulp! Ik heb eens gelezen dat er "in Vlaanderen 70,000 kinderen zijn geboren". Aangezien er van de 10 mio Belgen 6 mio Vlamingen zijn extrapoleer ik dat er in België 116,000 kinderen geboren zijn. Dus ik check als volgt: op 10 mio Belgen zijn er 5 mio vrouwen die met een vruchtbaarheid van 1.84 kinderen per vrouw (dat stond er ook bij) 9,200,000 kinderen krijgen. Deel dat door die 80 en... je hebt "115,000 kinderen per jaar"! Dat klopt zo mooi dat dat alleen al tot wantrouwen stemt, maar het is in ieder geval geen reden om ermee op te houden.
OK, het kan best zijn dat ik al lang uit de bocht ben gevlogen, maar soit. Het punt is, blijkbaar is "vruchtbaarheid" om te zetten in een jaarlijks aantal geboortes als volgt. Aantal kinderen per vrouw ("V" van "vruchtbaarheid") maal aantal vrouwen gedeeld door de gemiddelde levensverwachting ("LV"). Noem dat "G"; het aantal geboortes per jaar. En als laatste stap naar een gemeenschappelijke noemer (ik heb al "geboortes", en ik heb al "per jaar", maar ik heb nog niet de term "populatie" uit het concept "jaarlijkse groei van de populatie") vervang ik "aantal vrouwen" door "de helft van de populatie"; of ook "populatie gedeeld door twee".
En dat zou een leuk resultaat zijn! De aangroei is het jaarlijks verschil tussen geboortes en sterftes, plus of min de migratie. Of ook "A(angroei) = (G - S + M)/P(opulatie)". Stel dat je de sterfte als een vrij vast gegeven kan nemen (er is geen pestepidemie die je bevolkingsaangroei scheef trekt) en dat er geen noemenswaardige migratie is. Dan wordt A voornamelijk een functie van G. Maar van G hebben we net gezien:
G = (V x P/2)/LV
(Dus de groei is de vruchtbaarheid maal "de helft van de populatie" gedeeld door de levensverwachting). En dat is hetzelfde als "G = (V x P)/2LV". Kortom, bevolkingsaangroei is een functie, niet alleen van de vruchtbaarheid (en van de migratie en van de sterfte waarvan ik even abstractie maak) maar ook van (twee keer) de levensverwachting! En dat staat in de noemer, dus hogere levensverwachtingen leiden tot lagere bevolkingsaangroei.
Kijk, ik hoop bijna dat het bovenstaande ruwweg klopt, en dat ik (in dat geval) één van de elementaire inzichten van de demografie zelf ook heb bedacht. Want het "leuk resultaat" waarover ik het had is dat we zouden getoond hebben dat de groei afneemt met de levensverwachting. Het is een al lang bekend feit dat de bevolkingsaangroei afneemt met toenemende welvaart. (Ja, ik weet dat de functie niet lineair is, en er heel anders uitziet bij heel lage welvaart, en mogelijk ook bij heel hoge welvaart.) En we weten ook dat "gemiddelde levensverwachting bij geboorte" een vrij goede indicator is voor het welvaartsniveau. Maar dan zou het bovenstaande ons de moeite besparen te zoeken naar allerlei ingewikkelde verklaringen waarom bevolkingen minder groeien naarmate ze rijker worden ("kinderen zijn niet langer een levensverzekering, en worden meer en meer een kost"). Het is dan gewoon een mathematische realiteit.
Oh, en het mag allemaal fout zijn, hoor. Misschien heb je ook al gemerkt: als je dit soort dingen allemaal bij elkaar probeert, en iemand laat je de fout zien, dan vergeet je het nooit meer, en dan heb je iets bijgeleerd. Dus aarzel niet: shoot!
---------------------------------------
(1) Even dacht ik dat het niet kon dat je evengoed kon aannemen dat de mensen geen 80, maar wel 40 jaar leven, zodat de formule zomaar met een factor twee zou afwijken. Maar toen schoot me te binnen dat je met een levensverwachting van 40 ook een veel kleinere bevolking, en dus veel minder vrouwen in de teller zou hebben. Met de ogen dichtgeknepen neem ik dus maar aan dat de veel kleinere noemer zou gecompenseerd worden door de veel kleinere teller...
18 opmerkingen:
Koen, ik heb de indruk dat je rekening wel klopt maar toch volgt daar je besluit niet uit.
Het probleem is dat in je formule: G = (V x P/2)/LV, eigenlijk LV ook in de noemer verstopt zit.
We hebben namelijk ook de volgende vergelijking: P = G x LV.
Als we dat in jouw formule invullen krijgen we het volgende resultaat: G = (V x Go) / 2 of P = (V x Po) / 2
Waarbij Go en Po naar de Geboorten en de populatie in de vorige generatie verwijzen. Zoals je ziet speelt LV in die formules geen enkele rol meer.
Ik moet meteen opbiechten dat ik er niet in slaag het na te rekenen. Ik méén het, van die "ongecijferdheid"; het is als een dichte mist die over je inzicht ligt. Dus als je tegelijk een nieuwe formule invoert, èn een verschil tussen de vorige en de volgende generatie...
Zucht.
Als ik je formule aanneem moet er bij mij iets mis zijn (niet dat dat me werkelijk zou verbazen, natuurlijk), want uit mijn versie volgt P = G * LV * 2/V. En tenzij V = 2 is dat nu eenmaal niet hetzelfde.
En toch... "Tantalizingly"... V is natuurlijk vaak wel degelijk 2. Dus iets lijkt er wel juist...
Ook is het intuïtief zo (is me intussen te binnen geschoten) dat een hoge LV een oudere bevolking geeft, en die zal vanzelf een lagere vruchtbaarheid hebben. Dus alweer...
Kijk, dat is nu een geval van een klok horen luiden en tenminste beseffen dat je de klepel nog lang niet gevonden hebt... :-)
Hallo Koen,
Allereerst een verwarring oplossen. Je schrijft: Ook is het intuïtief zo (is me intussen te binnen geschoten) dat een hoge LV een oudere bevolking geeft, en die zal vanzelf een lagere vruchtbaarheid hebben.
Je bent nu twee betekenissen van vruchtbaarheidheid door elkaar aan het halen. Oudere vrouwen zijn inderdaad niet meer vruchtbaar en kunnen geen kinderen hebben.
De vruchtbaarheid die jij gebruikte was echter het aantal kinderen dat een vrouw tijdens haar leven kreeg. Als een vrouw 3 kinderen krijgt tussen haar twintig en vijfendertig dan is haar vruchtbaarheid drie en die blijft drie hoe oud die vrouw daarna ook wordt.
Juist... :-)
Koen, het probleem is dat die twee P's niet dezelfde zijn, het gaat over de populatie van twee opeenvolgende generaties, tenzij je populatie stabiel is, zijn die niet aan elkaat gelijk. En als je populatie toch stabiel is, ja dan moet elke vrouw gemiddeld twee kinderen voortbrengen en is V = 2.
Ik had het dus beter als volgt geschreven (er van uitgaand dat LV constant is): P[i+1] = G[i] x LV.
Jouw formule (ervan uitgaand dat V constant is) wordt dan: G[i] = (V x P[i]/2)/LV.
Hieruit krijgen we dus: P[i+1] = V x P[i]/2 of G[i+1] = (V x G[i]) / 2
Maar we krijgen ook jouw afleiding: P[i] = 2 x G[i] x LV / V. en daaruit met het voorgaande volgt inderdaad dat als P[i+1] en P[i] het zelfde zijn dat V dan 2 moet zijn.
Ha, het ziet er al wat scherper uit...
Maar ik blijf piekeren. G is een getal (aantal geboorten) en LV is een aantal jaren. Dus het resultaat is een aantal jaren - maar P ("= G x LV") is een aantal mensen. Dus ik schijn nog ergens een eenheid te missen?
In mijn "analyse" was G trouwens een aantal geboortes *per jaar*. Bijvoorbeeld, als er (zeg voor dit voorbeeld) op één dag 10 kinderen geboren worden, en als de LV 80 is, dan weten we dat die kinderen (G x LV) allemaal samen 800 jaar zullen leven. Dus om daar weer een bevolkingsaantal van te maken moeten we toch weer nog ergens door een aantal jaren delen?
Ja Koen, sorry als ik niet helemaal duidelijk was maar voor mij is G ook een aantal geboorten per jaar.
Laten we even doen alsof kinderen uit het niets geboren worden en we zitten in een land zonder bevolking. Laten we ook even voor het gemak ervan uitgaan dat ze allemaal exact LV jaren oud worden en dan sterven en dat er exact G geboorten per jaar zijn.
Wat hebben we dan. Dat er LV jaren lang G personen bijkomen, De aanwezige populatie is namelijk nog te jong om te sterven. Na LV jaren zullen er naast de G geboortes nu ook G sterfgevallen zijn. Dus na LV jaren hebben we een evenwicht. Dat evenwicht hebben we dan bij een populatie P = G * LV
Nja, dat lijkt me inderdaad duidelijk... Dussehhh...
Zo op 't eerste zich lijkt me de discussie ongeveer beslist te zijn... :-)
Hmmmm, het lijkt er op dat ik niet verder geraakt ben dat enkele trivialiteiten, verstopt in een formule. Ach, ik zal wel niet de eerste in de geschiedenis zijn, zeker?
Maar intussen zit ik wel nog met de vraag. Aangenomen dat je een cijfer krijgt voor vruchtbaarheid - is het dan mogelijk daaruit een cijfer voor de jaarlijkse bevolkingsaangroei af te leiden? Of zijn er veel te veel andere factoren in het spel?
Ik zou het alsvolgt benaderen.
Een vrouw met vruchtbaarheid V en levensverwachting LV. Doet er LV jaren over omzich zelf en haar partner te vervangen door V individuën.
Laten we voor het gemak een nieuw tijdperk invoeren, waarin dit jaar het jaar 0 is. P[0] is dan de populatie van dit jaar. P[LV] is dan de populatie na LV jaar. Met wat we hierboven hadden hebben we dan: P[LV] = P[0]*V/2. (1)
Maar populatie is normaal gezien een exponentiële functie van de tijd. We kunnen het dus schrijven als P[LV] = P[0]*a^LV. (2)
Uit (1) en (2) leiden we af: a^LV = V/2
Dit geeft dan weer het volgende resultaat: a = (V/2)^(1/LV).
Vertrekkend van V = 1.84 en LV = 80 krijgen we dan a = 0,99895827. Dat betekent dat de bevoling elk jaar met 0,104% afneemt.
OK, ik denk te begrijpen ("correct me if I'm wrong...) dat je een formule wil invoeren met een vorm die ik begrijp, namelijk iets als
Y2 = Y1 * (1 + X)^LV
met X als groeipercentage.
Dus jouw "a" komt overeen met de "1 + X" uit de formule van de samengestelde interest, nietwaar? Dus enige simpele algebra en we krijgen dit verband tussen a en V.
Indrukwekkend.
Op het eerste zicht is er wel helemaal geen sterfte te zien in de formule, terwijl die er met een afnemende bevolking wel ergens moet inzitten. Als je het niet vreselijk vervelend begint te vinden, laat het weten. Ik ga hier in elk geval nog een stukje over nadenken.
Alvast bedankt.
Ja koen, die formule zit helemaal goed. Wat de sterfte betreft, die zit hem in het feit dat de nakomelingen de oorspronkelijke populatie vervangen. Zonder sterfte zouden we de volgende formule hebben:
P[LV] = P[0] + P[0]*V/2
i.p.v de oorspronkelijke:
P[LV] = P[0]*V/2.
Hmmmm, er valt me iets op in de formule "a is gelijk aan de helft van de vruchtbaarheid tot de macht 1 over de levensverwachting".
Hoe hoger de levensverwachting, hoe lager de jaarlijkse groei.
Nu zal ik niet in vraag stellen dat mijn "bewijs" daarvan niet klopte. Maar ik ben wel erg tevreden met (a) een verband tussen vruchtbaarheid en jaarlijkse groei, en (b) een bewijs dat een hogere levensverwachting samengaat met een lagere groei.
Zo ongeveer één keer per jaar levert dit blog toch echt iets op.
Waarvoor nogmaals dank.
Hallo Koen,
Het hangt er maar vanaf wat je juist bedoelt met: "hoe lager de jaarlijkse groei".
Stel we hebben een bevolking van 1.000.000 met een levensverwachting van 40 en V = 2,1. Dan krijgen we dus a = 1,0012205
Nu nemen we een bevolking van 2.000.000 met een levensverwachting van 80 en V = 2,1 Dan krijgen we a = 1,006101
Wat is dan de groei? In de twee gevallen is dat ongeveer 1220 personen per jaar. Waarom bekijk ik het op deze manier? Omdat in zekere zin het tweede voorbeeld gewoon het eerste voorbeeld is plus de onvruchtbare vrouwen boven de veertig.
Dus tenzij V naar beneden gaat, zal een hogere levensverwachting je niets opleveren wat de beperking van de bevolkingsaangroei betreft.
Een hogere levensverwachting zorgt voor een grotere populatie maar omdat de grotere populatie relatief meer onvruchtbare vrouwen telt is de groei in termen van de totale bevolking kleiner.
(je hebt een nul te weinig voor je bevolking van 2,000,000; ze groeien met 1.0006 en niet 1.006 - maar je absolute cijfers zijn correct: typo, blijkbaar.)
Maar ik ben even niet mee. Van de twee parameters (V en LV) die de groei beïnvloeden houd je V constant, je verandert LV, maar je vindt dat de hogere LV niets oplevert in termen van dalende groei: het volstaat de bevolking op 2 mio te zetten, en ze groeien allebei even snel in absolute cijfers.
Dat is zo, maar alleen in het eerste jaar. Bovendien kan ik net zo goed het omgekeerde doen. Ik houd van beide de LV op 40 jaar, en geef de ene bevolking een V van 4, en de andere van 3. Natuurlijk heeft de eerste de grootste groei: 1.75 versus 1.01% per jaar.
Maar nu kan ik net zo goed zeggen: die lagere V helpt me niets vooruit, want als ik de traagste groeier een bevolking van 1.75 mio mensen geef, dan groeit de traagste groeier in absolute getallen even snel als de groep van 1 mio die aan 1.75% groeit. Ergo, "de levensverwachting zal moeten stijgen om de dalende groei te zien optreden". Maar dat lijkt me geen correcte conclusie te zijn.
Volgens mij bevestigt dat gewoon dat er twee parameters zijn, V en LV, die de groeivoet bepalen. En de jaarlijkse groei, dat heb ik toch nooit ergens anders zien definiëren dan de *percentuele* toename. Als ik dat gewoon overneem, dan is 1.0006 een kleinere groei dan 1.0012; precies zoals de cijfers ons vertellen.
De vraag is maar wat die cijfers dan juist vertellen. Laten we vertrekken met twee populaties van 10 individuen, in de leeftijd van 0 t/m 5, twee individuen van elke leeftijd. De vrouwen krijgen in het tweede jaar drie kinderen. Het enige verschil is dat in de eerste populatie elk individu 4 jaar wordt en in de tweede populatie 5 jaar. Dit is dan de schets van de twee populaties. De eerste kolom is het jaar, de tweede kolom is het aantal individuen dat 0 jaar is, derde kolom het aantal individuen dat 1 jaar is enz. Het totaal staat tussen haakjes op het laatst
0: 2 2 2 2 2 (10)
0: 2 2 2 2 2 (10)
1: 3 2 2 2 2 (11)
1: 3 2 2 2 2 2 (13)
2: 3 3 2 2 2 (12)
2: 3 3 2 2 2 2 (14)
3: 3 3 3 2 2 (13)
3: 3 3 3 2 2 2 (15)
4: 4 3 3 3 2 (15)
4: 4 3 3 3 2 2 (17)
5: 4 4 3 3 3 (17)
5: 4 4 3 3 3 2 (19)
6: 4 4 4 3 3 (18)
6: 4 4 4 3 3 3 (21)
7: 6 4 4 4 3 (21)
7: 6 4 4 4 3 3 (24)
Wat we dus hier zien is dat het verschil tussen de twee populaties steeds groter wordt. Dus de groei van de tweede populaties is groter dan de groei van de eerste. Ja de relatieve groei van de eerste is groter dan de relatieve groei van de tweede en misschien dat ze dat "relatief" vaak weglaten maar persoonlijk voel ik mij daar niet zo gemakkelijk bij want dat kan gemakkelijk tot misverstanden leiden
Koen wil graag de levensverwachting als fysische *oorzaak* zien van een verminderde bevolkingsaangroei, via allerlei economische mechanismen waarbij ondermeer welvaart en voeding een rol spelen.
Dergelijke mechanismen bestaan ongetwijfeld, maar (zoals Axxyanus al een tijd argumenteert) ze volgen niet uit de simpele set formules uit de discussie *omdat die formules helemaal geen rekening houden met economische factoren.*
Je kunt dezelfde simpele formules toepassen op heel andere concepten van "vruchtbaarheid", waar de begrippen welvaart en voeding manifest géén rol spelen. Bijvoorbeeld steenlawines. G is het aantal nieuwe stenen dat begint te rollen. P is het aantal stenen dat al rolt (of P/2 als je je een "geslachtelijke" steenlawine wil voorstellen :-) V is het gemiddeld aantal nieuwe stenen dat aan het rollen gebracht wordt door elke rollende steen. LV is de gemiddelde tijd dat een steen rolt voor hij tot stilstand komt.
Als LV toeneemt, EN DE ANDERE PARAMETERS V EN P BLIJVEN CONSTANT, dan zal G inderdaad afnemen. Niks welvaart, gewoon breuken.
Mocht ik de indruk gewekt hebben dat Axxyanus tevergeefs aan het argumenteren was: dat is niet zo. Integendeel.
Maar het zal zeker wel waar zijn dat ik de vraag naar de fysische oorzaken verwar met de vraag naar de breuken. ("Dus lawines groeien trager wanneer de stenen gemiddeld langer rollen???") Intussen heb ik wel het antwoord op mijn vraag: de gezochte parameters zijn "V" en "LV".
Overigens had ik eens enkele cijfers over Bangladesj opgezocht, en de formule deed me een groei van 0.50 (of zoiets) verwachten, terwijl de echte groei 1.3 (of zoiets) was. Ik neem aan dat factoren als migratie wel degelijk serieuze verschillen kunnen maken...
Ja migratie maakt een degelijk verschil en wel om twee redenen. Laten we even enkel immigratie bekijken.
1) De groei is niet langer enkel afhankelijk van de vruchtbaarheid van de vrouwen.
2) Immigratie is iets dat over het algemeen gebeurt door mensen in een bepaalde leeftijdsgroep. Daardoor "ontbreken" een boel mensen in de oudere generatie waarmee de formule geen rekening houdt.
Een reactie posten