Priemgetallen ("wat is kennis?")

Tijdens de jongste familiebijeenkomst hoorde neefje Jeroen, zeven jaar, uit de mond van nonkel Koen de term “priemgetallen”. Natuurlijk volgde daarop “wat zijn priemgetallen?”. Eerst keek de mama van Jeroen sip. De mama van Jeroen weet over priemgetallen in vergelijking met nonkel Koen evenveel als nonkel Koen in vergelijking met de platwormen. En ook de papa van Jeroen zat te twijfelen. De papa van Jeroen, die weet pas ècht veel over priemgetallen. De papa sprak: “dat zal wel nog te moeilijk zijn.” De mama sprak: “ze hebben nog niet leren delen op school.”

Het voordeel van er praktisch niks van te weten is een zeker naief optimisme. Op zijn verzoek isoleerden Jeroen en nonkel Koen zich in een aparte kamer, gewapend met een blad ruitjespapier en een stylo.

In de bovenste rij ruitjes schreef Jeroen (daartoe uitgenodigd) achtereenvolgens de kleinste gehele getallen boven nul: één, twee, drie, ergens tot rond de twintig. In elk vakje één getal – een Excel spreadsheet kan hier gouden diensten bewijzen. Vervolgens informeerde nonkel Koen, en bevestigde Jeroen, dat hij de tafels van vermenigvuldiging kende. Op verzoek noteerde Jeroen in de tweede rij de getallen van de tafel van twee: twee, vier, zes enzovoort. Jeroen deed dat zo dat dezelfde cijfers netjes onder elkaar stonden. Dus, onder de één van de eerste rij stond er niets, onder de twee kwam een twee, onder de drie op de eerste rij kwam weer niets, onder de vier kwam de vier van de tafel van twee, en zo ging dat door: blanco, zes, blanco, acht, blanco, tien, enzovoort.

“We zijn eigenlijk op jacht” sprak nu nonkel Koen. “We hebben in de bovenste rij alle getallen achter elkaar gezet, en nu maken we er jacht op met de tafels van vermenigvuldiging! Met de tafel van twee hebben we al een heel pak getallen neergeknald. Kijk, als ik vanuit de cijfers van de tweede rij een rechte lijn naar boven teken, dan knalt die tafel het cijfer dat daar staat neer. En er is één uitzondering. Als een cijfer door zijn eigen tafel wordt neergeknald, dan telt het niet. Dus: de twee is door zijn eigen tafel neergeknald, dus dat telt niet. Maar daarna heeft de tafel van twee ook nog de vier geraakt, en dan de zes, en de acht, enzovoort, en al die getallen liggen er dus uit.”

Dat vond Jeroen best een leuk spelletje, en hij was meteen bereid te proberen of we er met de tafel van drie nog meer konden raken. Dus op de derde lijn kwam er een blanco onder de één van de eerste rij, een blanco onder de twee, en onder de drie schreef hij een drie. Toen weer een blanco onder de vier en de vijf, een zes onder de zes van de eerste rij, blanco, blanco en een negen onder de negen van de eerste rij. En hadden we nu nog nieuwe slachtoffers gemaakt? Wel, we kunnen een rechte lijn naar boven trekken van de drie uit de tafel van drie (op de derde rij) naar de drie op de eerste rij, maar... dat telt niet! “Als een cijfer door zijn eigen tafel wordt neergeknald, dan telt het niet.” De volgende die de tafel van drie kan raken is de zes, maar die was al door de tafel van twee geëlimineerd. Maar dan kwam de negen, en inderdaad, de negen is een echt slachtoffer, we hebben met de tafel van drie nog een getal geëlimineerd. Even verder puzzelen leerde dat de twaalf al geraakt was door de tafel van twee, maar de vijftien ging er ook aan door de tafel van drie. Enzovoort.

Het is nogal evident dat we met de tafel van vier geen nieuwe slachtoffers gaan maken. Elk cijfer dat de vier er zou kunnen afknallen is er al afgeknald door de tafel van twee. Maar de tafel van vijf, dat is weer wat anders. De tafel van vijf mist de vijf omdat geen enkel getal zijn eigen getal kan neerschieten. Ze mist ook de tien, want die ligt er al uit door de tafel van twee. Ze mist ook de vijftien, want die ligt er al uit door de tafel van drie. Maar de vijf haalt wel de vijfentwintig neer, want die was nog niet geraakt. Enzovoort.

Gegeven dat een getal niet kan geraakt worden door zijn eigen tafel, kunnen we een belangrijke conclusie trekken. Als we een getal niet kunnen raken met een tafel kleiner dan zijn eigen tafel, dan kan het door geen enkele tafel geraakt worden. (In de zeer technische termen waarmee je scholieren en hooggediplomeerde wiskundigen afschrikt: “het getal heeft geen delers”) Immers: geraakt worden door zijn eigen tafel van vermenigvuldiging telt niet (“het getal had geen delers behalve zichzelf”). Dus beeldden Jeroen en nonkel Koen zich in dat ze in de bovenste rij alle getallen, van nul tot oneindig, naast elkaar plaatsten, en dat ze daaronder, netjes in een tabel, alle tafels van vermenigvuldiging invulden. En we konden gewoon zien dat sommige getallen door geen enkele andere tafel konden gezeefd worden dan door zichzelf. Eenmaal een getal op zijn eigen tafel van vermenigvuldiging botste (per spelregel: een misser) kon het niet meer geraakt worden, want de volgende tafels beginnen allemaal met een getal dat groter is dan het gemiste getal. En dus is een getal dat overleeft tot het door zijn eigen tafel wordt geraakt aan de dans ontsprongen.

Lijkt dat een zéér complexe, zéér vervelende manier om iets te vertellen waarvan de pointe nog altijd niet duidelijk is? Dat zou best kunnen – dit soort dingen is deels een kwestie van smaak. Maar sta me toe op te merken dat het toch niet zo complex en vervelend was, dat Jeroen, zeven jaar, tweede leerjaar en nog niet op het punt waar ze hebben leren delen, besefte dat er getallen waren die in de jacht van nonkel Koen aan de dans ontsprongen. Of dat het systeem van de tafels een manier vormde om dat voor elk getal te checken. Het volstond de afspraak te maken dat we dergelijke getallen (dus: die je niet kon neerknallen met tafels die kleiner zijn dan dat getal zelf) “priemgetallen” noemen, en Jeroen wist, en had begrepen, wat priemgetallen waren. Terwijl mama en papa, die (en dit is de simpele realiteit, ik voeg dat er echt niet aan toe om het verhaal fraaier te maken) quasi oneindig keer meer weten over priemgetallen dan zowel nonkel Koen als Jeroen, dachten dat het nog te vroeg was.

En dus loop ik nu te mijmeren over de vraag: wat is kennis? In een objectieve betekenis, bijvoorbeeld als je een probleem uit de cryptanalyse voorgeschoteld kreeg, zit de kennis vanzelfsprekend bij de papa van Jeroen. Terwijl nonkel Koen alleen maar een basiskennis heeft van de Griekse filosofie (1), verder een actieve fantasie, en tenslotte iemand is die graag een verhaal vertelt.

Wat is “kennis”? De papa van Jeroen weet niet alleen onzettend veel over priemgetallen, hij is ook in het dagelijks leven een wijs man. Toen ik hem deze filosofische vraag stelde, met de context erbij, verscheen een brede glimlach op zijn gezicht. “Soms”, sprak de papa van Jeroen, “is enthousiasme beter dan kennis”.

En daarmee was nonkel Koen vanop de Olympos weer met beide voeten op de grond gezet.

----------------------------------------------
(1) De lezer die de smaak te pakken heeft vindt hier heef veel meer over als hij zoekt op trefwoord “Zeef van Eratosthenes”.