Stel dat je op een mooie dag op het idee kwam na te denken over de vraag: hoeveel is 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5... enzovoort, tot in de eeuwigheid, de som van alle breuken met één in de teller en de opeenvolgende positieve gehele getallen in de noemer. Zou je niet erg verbaasd zijn te vernemen dat dat totaal oneindig is?
Misschien niet. Misschien ben je één van de lezers die iets weten van wiskunde: dismissed! Zoek hier iets anders te lezen, over filosofie of zoiets!
Of misschien ben je één van die mensen die denkt dat een som van een oneindige serie getallen "zelf ook wel oneindig zal zijn, zeker?".
Fout! Hier vind je een artikel van Koen Vervloesem waar je in één oogopslag zal zien dat de som met oneindig veel termen "1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16+..." (kortom alle breuken met één in de teller en alle opeenvolgende machten van twee in de noemer) gelijk kan zijn aan een welbepaald getal, in dit geval één:
http://www.vervloesem.eu/qed/?p=846
Mooi, nietwaar?
Zodra je dit weet krijg je het moeilijk te geloven dat onze 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5... naar oneindig loopt, nietwaar? Ik heb ze eens allemaal van 1/2 tot 1/100 opgeteld, en de som is 4.18. En als je ze optelt tot bij 1/200, dan is de som 4.88. We zijn nog niet echt in de buurt van oneindig, en er komt nog maar héél weinig bij per keer, en...
Biecht maar op dat je net als ik gewoon niet gelooft dat die som naar oneindig gaat! We zullen het nog niet geloven wanneer het bewijs voor onze neus staat!
Bijvoorbeeld:
Socrates: "Dus ge gelooft niet dat de som van de oneindige reeks termen 1/2 + 1/3 + 1/4 +... naar oneindig loopt?"
Euthydemus: "Neen, bij Zeus."
Socrates: Maar zeg me dan eens, beste Euthydemus, denkt ge niet dat de helft van oneindig zelf ook gelijk is aan oneindig?"
Euthydemus: Ge hebt helemaal gelijk Socrates"
Socrates: "Dus 1/2 + 1/2 + 1/2 enzovoort zonder ophouden is gelijk aan oneindig?"
Euthydemus: "Ja, bij Zeus."
Socrates: "Maar laten we die reeks dan vergelijken met de reeks 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5... enzovoort zonder ophouden."
Euthydemus: "Ik zie het voor me."
Socrates: "En de eerste term uit beide reeksen is 1/2, nietwaar?"
Euthydemus: "Natuurlijk Socrates, dat is zeker. Maar in de tweede reeks zijn alle termen vanaf 1/3 kleiner dan 1/2."
Socrates: "Hemeltje Euthydemus, daar zeg je me wat! Maar toch vraag ik me nog iets af. Ik kan bij 1/3 niet naar één, maar naar de twee volgende termen kijken, nietwaar? En die twee samen zijn groter dan 1/2, nietwaar?"
Euthydemus: "Hmmmm, vermits twee keer 1/4 gelijk zou zijn aan 1/2 en de term voor 1/4 groter is dan 1/4 lijkt me dat wel juist, ja."
Socrates: "En daarna kan ik naar de vier volgende termen kijken, eindigend bij 1/8, en als ik die optel heb ik opnieuw meer dan 1/2, nietwaar?"
Euthydemus: "... vermits de drie termen voor 1/8 groter zijn dan 1/8 is de som dus groter dan 4/8, dus ja, Socrates, het is helemaal zoals ge gezegd hebt."
Socrates: "Enzovoort met de volgende acht termen (tot 1/16) en dan de zestien volgende, en dan de tweeëndertig volgende (tot 1/32 en 1/64), tot in het oneindige?"
Euthydemus: "Nu ge het zo zegt, ja, ik denk het wel."
Socrates: "En de reeks 1/2 + 1/3 + 1/4 enzovoort is oneindig lang?"
Euthydemus: "Dat hadden we in het begin zo gezegd."
Socrates: "Maar als die reeks oneindig lang is, kan ik dan niet zonder ophouden de volgende hoeveelheid uit de reeks (één, twee, vier, acht, zestien...) termen bij elkaar tellen, en telkens meer overhouden dan 1/2?"
Euthydemus: "Ik denk het wel, bij Zeus."
Socrates: "Dan heb ik toch van de reeks 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... (enzovoort) een reeks gemaakt van oneindig veel termen die stuk voor stuk (op de eerste na, die gelijk is aan) groter zijn dan 1/2?"
Euthydemus: "Drommels, ja!"
Socrates: "En als de oneindige serie 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... (enzovoort) oneindig is, dan zal een onenindige serie als 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... (enzovoort) - vermits we die konden herschrijven als een oneindige serie termen die groter zijn dan telkens 1/2 - toch ook oneindig zijn?"
Euthydemus: "Hemeltjelief, Socrates, het ziet er naar uit dat ik er geen speld kan tussen krijgen!"
Wel? Is dat nu geen mooi resultaat? Geen zinnig mens gelooft natuurlijk dat de oneindige reeks 1/2 + 1/3 +1/4 ... tendeert naar oneindig. Alleen, het is een beetje zoals de evolutietheorie, het is iets dat je niet hoeft te geloven omdat het iets is dat je kan weten.
5 opmerkingen:
Er zijn inderdaad mensen, die menen dat een som van een on-eindige serie getallen - even of oneven, om het even - zelf ook on-eindig is. Me voilà.
Me staat voor een homo ludens die zoveel afweet van wiskunde als een inktvis van het purgatorio van de Florentijnse dichter, Dante Alighieri. Weinig dus, om niet te zeggen nihil, hetgeen uiteraard niet wegneemt dat ik, in tegenstelling tot die inktvis, een denkend spreekwezen ben. Meer bepaald een parlêtre dat 'geloof' hecht aan een structureel tekort, zoals toegelicht door Jacques Lacan.
Net zo min als het laatste woord gezegd of het reële uitputtend gesymboliseerd kan worden – binnen een Lacaniaans denkkader, wel te verstaan -, kan de laatste macht van 2 niet gedacht/gefantasaseerd worden. (Ik verwijs hier naar het inderdaad zeer overzichtelijk, doch naar mijn bescheiden oordeel misleidend schema van Koen Vervloesem). Onze taal zegt het zelf : de reeks getallen of machten van 2 is 'on-eindig', hetgeen impliceert dat er nooit of te nimmer een einde zal zijn. Moest er een einde gedacht of gefantaseerd kunnen worden, zou het een 'eindige' reeks betreffen.
Ergo : de som van oneindig veel termen (alle breuken met één in de teller en alle opeenvolgende machten van twee in de noemer) kan derhalve nooit gelijk zijn aan één. Volgens mijn manier van redeneren althans :-)
Volgens mij moeten we onderscheid maken tussen een getal dat oneindig groot *is* en dat er in zijn uitdrukking oneindig lang *uitziet*.
Bijvoorbeeld, als we de machten van 2 vervangen door de machten van 10, dan krijgen we 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...
Dat geeft 0.111... en het is duidelijk dat je cijfers één kan toevoegen: met elke "één gedeeld door de volgende macht van 10" voeg je één 1 toe aan de reeks.
Niemand ontkent dat de *uitdrukking* van dat getal oneindig *lang* is. Maar dat het getal niet oneindig *groot* is, is even duidelijk: het komt niet eens hoger dan 1.12 :-)
Ik mijmerde alsvolgt :-)
Aan het getal 0,111... komt geen eind (on-eindig). Hoeveel gebroken machten van 10 je er ook aan toevoegt, die 0,111... zal nooit 0,12 worden.
Het getal 0,111.. 'lijkt' volgens mijn bescheiden mening niet on-eindig in zijn uitdrukking, maar 'is' on-eindig in zijn uitdrukking (vanwege on-mogelijk de laatste 1 te schrijven).
Of dit getal al dan niet on-eindig klein of on-eindig groot of on-eindig middelmatig is, doet (weerom volgens mijn bescheiden mening) niet terzake, vermits de adjectieven klein, groot, middelmatig allen voorafgegaan worden door de toelichting dat ze on-eindig zijn. De beenhouwer zou mij geen 0,111... kg kipkap kúnnen geven (theoretisch, want de man vraagt steevast of het een beetje meer mag zijn), net zoals een handelaar in zeer zware materialen mij geen 999... kg van dat betreffende goedje kán overhandigen.
Dit alles om te verduidelijken dat iets on-eindigs, ongeacht grootte of uitdrukkingsvorm, onmogelijk eindig of determineerbaar kan zijn. Net zoals het vierkant (cfr. schema Koen Vervloesem) nooit kan/zal samenvallen met zichzelf, hoeveel gebroken machten van 2 je er ook aan toevoegt.
Vanwege het structureel tekort. Volgens mij(n denkkader) :-)
Maar hoe dan ook toont het Socratisch bewijs dat 1/2 + 1/3 + enzovoort een zodanige uitkomst krijgt, dat je nooit een getal kan noemen dat groter is dan die uitkomst. Welk getal je ook noemt, ik zal altijd kunnen zeggen tot welke 1/X je moet gaan om een nog groter getal te bekomen. En dat is de "tendeert naar oneindig" waarover "we" het wilden hebben.
Terwijl sommige reeksen oneindig lange getallen die laatste eigenschap niet hebben: bijvoorbeeld zoals het vierkant van koen Vervloesem heel goed toont. Ik kan een getal noemen, bijvoorbeeld, "één", en je mag nieuwe termen toevoegen zoveel je wil maar je zal er nooit bovenuit komen. En het is in die zin dat we zeggen dat sommige "oneindige" sommen (er komt geen eind aan het aantal termen dat je kan toevoegen) niet naar "oneindig" (er bestaat geen enkel getal waar je niet bovenuit raakt) tenderen.
Nu, dat zijn verschijnselen die voor sommige mensen fascinerend zijn, en anderen worst zullen wezen...
Jongens,
haal semantiek en wiskunde nu niet door elkaar.
Voor een antwoord op jullie - al dan niet filosofische en/of wiskundige - mijmeringen verwijs ik met heel veel plezier naar de website : www.ikhebeenvraag.be.
Onder 'wiskunde' wordt de vraag door experten in het vak beantwoord of 0.9999999... gelijk is aan 1...
En ook een heel aantal filosofische vragen, met antwoord.
Veel plezier...
Tonny
Een reactie posten