Voor mensen als ik is wiskunde altijd veel te moeilijk geweest. Je voelt dat het de ontoegankelijkheid, maar ook de zuiverheid en de schoonheid van een landschap uit het Himalayagebergte bezit. Je bekijkt er dan ook af en toe, en met een beetje een verdrietig gevoel, een afbeelding van, om toch een béétje een indruk te krijgen van waar het eigenlijk over gaat. Sta me toe u een madeliefje te tonen dat ik uit het wiskundegebergte heb geplukt:
F = m x a
"Eikkes! Een formule!" is wat elk fatsoenlijk Christenmensch nu zegt. Maar kom, alles bij elkaar staan hier maar vijf karakters in. En noch het teken "=", noch het teken "x" (voor de vermenigvuldiging) zou onoverkomelijke moeilijkheden moeten opleveren. Dus wat blijft er eigenlijk over?
Laat me even tellen. Stel dat ik u herinner aan het volgende. Wanneer je iets in beweging wil krijgen, dan zal je daarvoor een zekere kracht moeten uitoefenen. En de kracht die je nodig hebt is evenredig met hoe zwaar je "iets" is, en ook met hoeveel beweging je er wil in krijgen.
Voilà, ik tel hier een veertigtal woorden. En toch zeggen ze precies hetzelfde als de formule met vijf karaktertekens. Namelijk, "m" staat voor "massa", wat voor het gemak samenvalt met het gewicht van wat we in beweging willen krijgen. En "a" staat voor "versnelling", wat voor het gemak samenvalt met "hoeveel beweging je er wil in krijgen". Aangezien zowel gewicht en beweging dingen zijn waarop je een getal kan plakken, kan je die twee met elkaar vermenigvuldigen, en het resultaat is een nieuw getal, dat iets zegt over de kracht, "force", afgekort tot "F", die je nodig hebt.
Ga maar na! Als je een knikker wil vooruit duwen, dan heb je een tikje van een vinger nodig. Maar als het een kanonskogel van 100 kilo is zal er iets meer nodig zijn. En als die kanonskogel een kilometer verder de vijand moet raken, dan heb je nog veel meer kracht nodig. Terwijl je je om een blok van tien ton niet hoeft te bekommeren, als die helemaal niet hoeft te bewegen. Een vermenigvuldiging met nul geeft als resultaat nul, dus ook een heel grote "m" die je in nul beweging wil zetten heeft nul kracht nodig.
Simpel, nietwaar? De formule heeft als voordeel dat het (a) op gebalde wijze dezelfde informatie geeft, die (b) meteen zo wordt voorgesteld dat je er resultaten heel precies mee kan uitrekenen. Dus dat is toch wel de moeite, nietwaar? Hier is er nog één.
g = (m1 x m2)/d²
Oeioeioei, dat ziet er al veel erger uit. Ik tel niet minder dan twaalf karakters! En dan staan er nog haakjes, schuine streepjes en van die kleine cijfertjes in de lucht in. Oeioeioeioeioei!
Eens kijken. De schuine streep is natuurlijk niets anders dan een simpele breuk. Dus zeggen de haakjes dat je het product van twee "m"-en moet delen door een variant op die "d". Met uw welnemen zal ik die variant - dat kleine cijfertje, dus - gewoon negeren: te moeilijk. Maar ik signaleer toch dat het nuttig is indien we ooit proberen cijfers in te vullen, om concrete resultaten te berekenen.
Wat overblijft is dat we een "g" hebben, die groter wordt naarmate twee factoren "m" groter zijn (dus zoals onze F van daarnet groter was naarmate de factoren "m" en "a" groter waren), maar kleiner naarmate de "d" groter wordt. Nu staat "m" alweer voor "massa", (die nu voor onze bedoelingen niet noodzakelijk hetzelfde als "gewicht" is, maar soit). Kom, ik verklap de show: ik heb het over de zwaartekracht - "g" voor "gravitatie" - die tussen voorwerpen sterker is naarmate ze meer massa hebben. Maar de sterkte neemt af wanneer de afstand tussen beide groter is: de "d" onder het schuine streepje staat voor "distance".
En weer zien we dat we in twaalf karakters kunnen uitdrukken wat we anders in veel woorden moeten zeggen - om niet te spreken van hoe ik in woorden maar wijselijk heb gezwegen van dat "kwadraat". De formule toont ons waarom vliegen over muren en plafonds kunnen lopen: hun massa is zo klein dat het product van hun massa met de massa van de Aarde ook klein is. Dus ondergaan ze heel weinig zwaartekracht en volstaat een beetje kleefstof aan hun poten..
Al die dingen kan je ook in woorden vertellen. Je zal veel woorden nodig hebben, maar het kan. Maar hoe zit het met het volgende vraagje? Ik sta op de Toren van Pisa, en ik laat een kogel van tien kilo vallen, tegelijk met een kogel van één kilo. Hoeveel sneller is de zwaarste kogel op de grond?
"g = (m1 x m2)/d²" verklapt ons het geheim. Iedereen ziet onmiddellijk dat de zwaarste kogel eerder op de grond zal zijn! Immers, de Aarde (zeg dat die door “m1” wordt voorgesteld) is voor beide kogels hetzelfde. En de hoogte waarop ze vertrekken is ook voor allebei hetzelfde: dat is “d²”. Dus het enige dat verschillend is, is “m2”, die voor de ene kogel 1 kilo is, en voor de andere 10. Dus is de oplossing van de vergelijking voor de tweede kogel met een factor tien groter dan voor de eerste. En die oplossing sloeg op “g”, de zwaartekracht die ze ondergaan. De zwaarste kogel ondergaat tien keer meer zwaartekracht, dus hij valt veel sneller, einde discussie.
Nietwaar?
Tja, als het zo simpel was, hoefden we het niet met zoveel nadruk te vragen. De formule "F = m x a" verklapt ons nog een ander geheim. De vraag was welke van de twee kogels het snelst valt. Dus hebben we het over de factor “a”: dat was immers de versnelling. Simpele algebra laat toe uit de formule af te leiden dat “a = F/m”. De schuine streep staat nog steeds voor een breuk: we delen de kracht (F) door de massa (m) om te weten hoe het zit met de versnelling (a). De versnelling die een kogel zal ondergaan is bijgevolg groter naarmate de kracht die hij ondergaat groter is, maar kleiner naarmate de massa die deze kracht ondergaat groter is. En dat is logisch: een bal ondergaat een grotere beweging naarmater je er harder tegen schopt, maar minder naarmate de bal zwaarder is.
Over welke massa die kleiner of groter kan zijn hebben we het eigenlijk? Niet over de massa van de Aarde: die is voor beide kogels gelijk. Het gaat dus over de massa van de kogel zelf. De beweging die de kogel ondergaat is kleiner naarmate hij zwaarder is, omdat het moeilijker is hem in beweging te krijgen. Een knikker had slechts een tikje van een vinger nodig, maar voor een zware kogel was meer nodig! En als dezelfde (zwaarte)kracht veel meer moeite heeft om de veel zwaardere kogel in beweging te krijgen, dan komt die in ons voorbeeld met een factor tien minder snel in beweging. Terwijl uit de vorige formule bleek dat de kracht sterker inwerkt naarmate de kogel zwaarder is, zodat de zwaartekracht er in ons voorbeeld een tien keer grotere invloed op uitoefent. Dezelfde factor die via de uitgeoefende kracht de kogel sneller doet vallen, is ook de factor die wegens de moeilijkheid om hem in gang te krijgen de kogel juist trager doet vallen. En dus neutralizeert deze factor, de massa van de kogel zichzelf. Of in andere woorden, de valversnelling van de twee kogels is onafhankelijk van hun massa! Ze vallen allebei even snel!
Dat hebben we loepzuiver berekend, en daarnaast ook parallel in woorden beredeneerd. En als je het niet gelooft, dan kan je je altijd met een zware en een lichte kogel naar een hoge positie begeven, en ze allebei tegelijk laten vallen. En hoe vaak je het ook probeert, je zal zien dat ze inderdaad allebei even snel vallen. Precies even snel. En kijk, ik kan dat allemaal in woorden vertellen. Maar als man van de letteren kan ik toch alleen maar iets toegeven. Pas toen ik een beetje algebra probeerde, en die factor “m” – die vanuit de teller van mijn breuken zo intuïtief correct de kogel sneller deed vallen als hij zwaarder was – ook in de noemer van mijn vergelijking verscheen, en dus dezelfde factor in de teller neutralizeerde, begreep ik waarom die factor (massa) verdween. Met andere woorden, waarom alle kogels onafhankelijk van hun massa even snel vallen. Intuïtief zou ik er nooit aan gedacht hebben.
5 opmerkingen:
Het (even snel vallen) klopt trouwens enkel maar omdat je de luchtweerstand (wrijving) hebt verwaarloosd. Als je dat doet vallen een pluimpje en een kogel even snel. Doe je dat niet, dan heeft het pluimpje toch 'ietsje' meer tijd nodig.
Deze keer gebruik je eigenlijk wiskunde om het moeilijker te maken :)
Laten we aannemen dat de valversnelling onafhankelijk is van de vorm van een voorwerp. Zoals vuurland zei geldt dit alleen in vacuum.
Uit deze aanname kan je bewijzen dat de valversnelling ook niet afhangt van de massa. Veronderstel dat we je bal in 2 zagen en de 2 helften vlak naast elkaar houden en tezamen laten vallen. Als de massa een verschil zou maken zou een flinterdun bruggetje tussen de twee halve bollen de valversnelling wijzigen, want met een verbinding van zelfs maar een atoom dik zouden de twee helften opnieuw 1 voorwerp vormen.
Dat van het "moeilijker maken" raakt een teer punt :-) Laat ik me snel in een defensieve positie ingraven: Het was wel degelijk bedoeld om iets over *wiskunde* te zeggen. De vragen rond valversnelling waren voor mij een praktisch voorbeeld van wat wiskunde zelfs voor mensen als ik kan doen, niet omgekeerd.
Los daarvan is je verhaal over twee halve bollen, verbonden door één atoom wel degelijk iets waarover ik een kwartierke naar de hemel heb zitten staren, daar niet van.
k heb ook wel eventjes nagedacht wat ik juist tegen je methode had. Het voornaamste probleem is het verschil tussen massa en gewicht dat je voorzichtig uit de weg gegaan bent. Het is zelfs nog iets ingewikkelder. In je formule F=ma is m de inertiemassa. Je kunt experimenteel meten dat deze voor een voorwerp constant is. In de formule F=G m_1 m_2/r^2 zijn de m_i gravitatiemassas. Je kunt eveneens experimenteel nagaan dat deze voor een voorwerp constant zijn. Nu blijkt experimenteel ook dat voor een voorwerp inertie- en gravitatiemassa zo dicht bijeen liggen dat je binnen de foutenmarge geen verschil meet. Maar binnen klassieke mechanica is er eigenlijk geen verklaring om ze aan elkaar gelijk te stellen. Daar heb je de relativiteitstheorie voor nodig.
Hmmm, ik vrees dat je me kwijt raakt. Als ik het goed begrijp is het probleem dat ik de m uit de ene formule gebruik om die uit de tweede te neutralizeren - terwijl ik de relativiteitstheorie nodig heb om te weten of die wel dezelfde zijn.
Natuurlijk geef ik toe dat ik dat niet weet uit de relativiteitstheorie.
Maar als ik het weet uit experiment, of zelfs omdat iemand het me heeft verteld, dan is dat toch goed genoeg? Uiteindelijk is mijn onderwerp dat literair opgeleide types als ikzelf weinig toegang hebben tot wiskunde, en er vaak ook het nut niet van inzien, en je zit snel in een vicieuze cirkel. Terwijl je af en toe toch een concreet voorbeeld hebt waar wiskunde ook ons een stap vooruit helpt.
Tenminste, zo voel ik het aan. Als scholier moest ik het hebben van toen ik een grote kei en een kleine kiezel tegelijk liet vallen - en toen voelde ik nog iets van "zou dat nu wel waar zijn?" en "is de afstand misschien te kort?".
Maar toen ik m deelde door m en zag dat het resultaat "1" was - tja, toen kon ik niet meer twijfelen.
Een reactie posten