woensdag 10 januari 2007

Carl Gauss

Iets zegt me dat meerdere lezers van dit blog al van Carl Gauss hebben gehoord. Ja, iets zegt me dat er een paar zijn die zich vasthouden aan hun bretellen, als ze zien dat ik er over begin, nagelbijtend afwachtend wat ik nu weer allemaal zal uitkramen.

En toch, ik heb alleen maar een tamelijk onschuldige anecdote in gedachten, die ik onthouden heb omdat ik het grappig en indrukwekkend vind, en ook interessant. We moeten ons een stel snotneuzen inbeelden, alsook een slechtgehumeurde schoolmeester, die de nobele taak heeft de snotneuzen tot kennis, inzicht en wijsheid te brengen. Dit volgens de veelbezongen verdiensten van het Duitse schoolsysteem van de late achttiende eeuw.

De schoolmeester verlangt naar ene stonde rust, en heeft een briljant idee. “Neem een blad papier” spreekt hij streng, “en reken de som uit van alle getallen van één tot honderd”. Terwijl hij het laatste woord spreekt strekt hij zijn voeten uit op zijn lessenaar, en plooit tevreden zuchtend zijn krant open.

Eén van de snotneuzen – terwijl de anderen met grote ogen over hun blad beginnen te krasselen – heeft echter ook een briljant idee. Na enkele ogenblikken krasselen steekt hij zijn hand op. De slechtgehumeurde leraar is niet te spreken over deze veel te snelle verstoring van zijn rust... Maar hoe hij precies reageerde toen de snoodaard het getal “vijfduizend en vijftig” uitsprak – dat zegt het verhaal er voor zover ik weet niet bij.

Om dit verhaal begrijpelijk te maken – zoal niet voor de lezers van Speels maar Serieus, dan toch voor de schrijver – is het nodig enkele listige vereenvoudigingen in te voeren. Stel dat de opdracht was uit te rekenen hoeveel de som was van alle getallen van één tot vier? Ikzelf heb me ooit die vraag gesteld, en ik ging van “één – drie – zes... tien!”.

De kleine Gauss had dat anders aangepakt. Hij moet zich in een fractie van een seconde twee dingen gerealizeerd hebben. Het eerste was dat hij de op te tellen getallen (één, twee, drie en vier) kon voorstellen als, bijvoorbeeld, een optelsom van damschijven. Neem een damsteen, en leg die voor je op tafel. Die stelt het getal één voor. Neem twee andere schijven, en leg één ervan naast de eerste. Noem de lijn die ze vormen “horizontaal”. De andere leg je naast de laatste, maar loodrecht op de richting die we net “horizontaal” hebben genoemd. Je hebt nu een driehoekje. Het nieuwe rijtje, “verticaal”, bestaat uit twee schijven, en stelt het getal twee voor. Vervolgens nemen we weer drie schijven. We leggen er één netjes “horizontaal” in het rijtje dichtst bij je, en we leggen de twee andere “verticaal” naast de nieuwe. We hebben nog steeds een driehoekje, waarvan de verticale rijen nu de getallen één, twee en drie voorstellen. En we kunnen hetzelfde nog eens opnieuw doen met vier schijven. Dus nu heeft de driehoek horizontaal een zijde van vier stenen, en verticaal ook een zijde met vier stenen, en de schuine zijde vormt een trapje. En de som is tien stenen!

Het tweede element dat Gauss tegelijk moet beseft hebben, is dat hij van deze driehoek een rechthoek kon maken, op een manier die de vraag naar het totaal aantal schijven een stuk gemakkelijker maakt. Neem aan dat we tot nu toe alleen witte schijven hebben gebruikt. Dan nemen we nu een zwarte schijf, en we leggen die “verticaal” in het verlengde van de vier schijven die het getal vier voorstellen: verticaal hebben we nu vier witte en één zwarte steen: samen vijf. En we nemen twee zwarte schijven, en we leggen ze verticaal naast de drie die het getal drie voorstellen, en we hebben nu drie witte en twee zwarte schijven, alweer samen vijf. Als we dat ook doen met drie zwarte schijven voor het getal twee, en vier zwarte schijven voor het getal één, dan hebben we nu niet één, maar twéé driehoeken, die zo in elkaar grijpen dat ze samen een rechthoek vormen. Eén zijde heeft vier stenen, en de andere vijf.

Nu hoef je geen Gauss te zijn om te zien dat je rechthoek het dubbel aantal stenen bevat van de som van de getallen één tot vier. Je hebt immers twee driehoeken gelegd, die elk het juiste aantal stenen bevatten. Bovendien laat de constructie toe in één oogopslag te zien hoeveel het dubbel is van het cijfer dat je zoekt. Het dubbel van dat cijfer is gelijk aan vier maal vijf. En als het dubbel van het cijfer dat we zoeken vier maal vijf, en dus twintig is, dan is het cijfer dat we zoeken tien.

Vervolgens kunnen we vijf witte stenen nemen, en die verticaal naast de vier eerste rijen leggen, en nu stellen de witte stenen de eerste vijf getallen voor. Als we daar één zwarte steen bijleggen om de rechthoek te vervolledigen, hebben we een rechthoek van vijf op zes. En de som van alle getallen van één tot vijf is de helft van vijf maal zes, zijnde de helft van dertig, of vijftien: tel maar na!

En zo zag de kleine Gauss ook in één flits dat de som van alle getallen van één tot honderd gelijk moest zijn aan de helft van honderd maal honderd en één. Dat laatste is tienduizend honderd, en de helft daarvan is vijfduizend en vijftig. “Meester, meester...!”

En Carl Gauss? Wel, hij maakte de belofte die hij als kind was waar, nietwaar? "Normaalverdeling", iemand? Om dat duidelijk te maken vrees ik dat er andere blogs zullen nodig zijn. Ik ben er hier al duizelig van.

1 opmerking:

vuurland zei

Iedereen in Duitsland had zelfs zijn foto gezien: hijzelf en zijn curve stonden op de briefjes van 10 Mark.